روش گاس سیدل در متلب از صفر تا صد و نکات کاربردی

روش گاوس – سیدل یکی از رایج ترین روش های تکراری برای حل یک سیستم معادلات خطی جبری است. این روش را می توان برای هر ماتریس همگرا با عناصر غیر صفر به صورت مورب اعمال کرد. روش Gos-Seidel از نام دو ریاضیدان آلمانی، کارل فردریش گاوس و فیلیپ لودویگ فون سیدل نامگذاری شده است.

در واقع، گاوس سیدل یک روش پیچیده تر و نسخه بهبود یافته روش گاوس ژاکوبی است. در این روش نیز مانند هر روش تکراری دیگر معادلات داده شده به طور تقریبی حل شده و تکرار تا حصول دقت مورد نظر انجام می شود.

خواندن را فراموش نکنید: دانلود 13 فیلم رایگان آموزش شبکه عصبی در متلب

در این مقاله به نوشتن کد برنامه با استفاده از روش گاس سیدل در متلب (متلب) می پردازیم و در کنار آن مبانی نظری این روش را در نظر می گیریم و در نهایت نتیجه برنامه متلب را با یک مثال عددی تحلیل می کنیم.

نظریه روش های گوس سیدل

قبل از هر چیز بهتر است نگاهی گذرا به مبانی نظری/ریاضی روش گاس سیدل داشته باشیم. ماتریس ها، تکرارها و روش هایی که در زیر به آنها اشاره می کنیم، دستورالعمل های اساسی برای نوشتن کد برنامه برای متد گاس سیدل در متلب هستند.

سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:

آ₁₁ایکس₁ + الف₁₂ایکس₂ + الف₁₃ایکس₃ + الف₁₄ایکس₄ + الف₁₅ایکس₅ + الف₁₆ایکس_{6 …….} + الف_1nایکس_n = ب₁
آ₂₁ایکس₁ + الف₂₂ایکس₂ + الف₂₃ایکس₃ + الف₂₄ایکس₄ + الف₂₅ایکس₅ + الف₂₆ایکس_{6 …….} + الف_2nایکس_n = ب₂
آ₃₁ایکس₁ + الف₃₂ایکس₂ + الف₃₃ایکس₃ + الف₃₄ایکس₄ + الف₃₅ایکس₅ + الف₃₆ایکس_{6 …….} + الف_3nایکس_n = ب_{3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. . . . . . …. . . . . . . . . . . …. …. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. . . . . . …. . . . . . . . . . . …. …. .}
آ_n1ایکس₁ + الف_n2ایکس₂ + الف_n3ایکس₃ + الف_n4ایکس₄ + الف_n5ایکس₅ + الف_n6ایکس_{6 …….} + الف_nnایکس_n = ب_n

در این دستگاه الف_ij ضریب عبارات مجهول x را نشان می دهد_و است.

معادلات فوق را می توان به صورت ماتریس به صورت زیر نمایش داد:

یا آن را یادداشت کنید [A][X] = [B] بیاور.

حال، با شکستن ماتریس A به اجزای مثلثی پایینی و مثلثی بالایی، به نتیجه زیر می رسیم:

A = L x U

که در آن:

این سیستم معادلات خطی را می توان به صورت زیر نیز بیان کرد:

L x X = B – UX —– (a)

در روش گاوس-سیدل، معادله (a) با حل مکرر مقدار سمت چپ x و سپس استفاده از مقدار حاصل از x برای حل سمت راست معادله حل می شود.

دانلود: 7 درس کاربردی آموزش برنامه نویسی در متلب

فرآیند تکرار در روش گاوس-سایدل را می توان به صورت ریاضی به صورت زیر نوشت:

ایکس^{(k + 1)} = L ^-1(B-UX^(ک) )

با استفاده از روش جایگزینی رو به جلو، عناصر X^{(k + 1)} می توان آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

در برنامه متلب نیز برای این روش از همین رویه استفاده می شود. روند تکرار تا زمانی ادامه می یابد که تغییرات در مقادیر مجهول (x) ناچیز شود یا به مقدار مشخصی خطا برسیم.

روش گاس سیدل در متلب

روش % Gauss-Seidel در متلب

تابع x = gauss_siedel (A, B)

disp (‘سیستم معادلات خطی را به شکل AX = B وارد کنید’)

درصد ماتریس ورودی A

A = ورودی (“ماتریس A را وارد کنید: n”)

% بررسی کنید که ماتریس وارد شده یک ماتریس مربع باشد

[na , ma ] = اندازه (A)؛

اگر na ~ = ما

disp («خطا: ماتریس A باید یک ماتریس مربع باشد»)

برگشت

پایان

درصد ماتریس ورودی B

B = ورودی (“ماتریس B را وارد کنید:”)

% بررسی کنید که B یک ماتریس ستونی است

[nb , mb ] = اندازه (B)؛

اگر nb ~ = na || mb ~ = 1

disp («خطا: ماتریس B باید یک ماتریس ستونی باشد»)

برگشت

پایان

تقسیم ماتریس A به ماتریس های مثلثی پایین و مثلث بالایی

% A = D + L + U

D = نمودار (نمودار (A));

L = تریل (A) – D;

U = سه نفر (A) – D

بررسی شرایط همگرایی درصد برای روش گاوس-سایدل

e = max (eig (-inv (D + L) * (U)));

اگر abs (e)> = 1

disp (“از آنجایی که مدول بزرگترین مقدار ویژه ماتریس تکراری کمتر از 1 نیست”)

disp (“این فرآیند همگرا نیست.”)

برگشت

پایان

% فرض اولیه برای X ..؟

% پیش فرض است [ 1 1 …. 1]

r = ورودی (‘هر فرض اولیه برای X؟ (y / n):’، ‘s’);

سوئیچ r

مورد ‘y’

% درخواست حدس اولیه

X0 = ورودی («فرض اولیه را برای X وارد کنید: n»)

% بررسی فرض اولیه

[nx, mx] = اندازه (X0)؛

اگر nx ~ = na || mx ~ = 1

disp («خطا: بررسی ورودی»)

برگشت

پایان

در غیر این صورت

X0 = واحد (na، 1)؛

پایان

درصد خطای مجاز در پاسخ نهایی

t = ورودی (‘خطای مجاز را در پاسخ نهایی وارد کنید:’);

tol = t * واحد (na, 1);

k = 1;

X (:، 1) = X0;

err = 1000000000 * رند (na، 1)٪ فرض اولیه برای خطای چرخه

در حالی که مجموع (abs (err)> = tol) ~ = صفر (na, 1)

X (:، k + 1) = -inv (D + L) * (U) * X (:، k) + inv (D + L) * B;% فرمول گاوس-سایدل

err = X (:، k + 1) – X (:، k)؛ درصد خطا در یافتن

k = k + 1;

پایان

fprintf (“پاسخ نهایی پس از % g تکرار n”، k است)

X (:، k)

در برنامه فوق اولین تابع MATLAB x = gauss_siedel (A, B) تعریف شده است. در اینجا A و B ماتریس هایی هستند که با ضرایب استفاده شده در سیستم معادلات خطی ساخته می شوند. عناصر A و B طبق دستور اصلی برنامه نویسی متلب وارد برنامه می شوند.

حتما بخوانید: نکات اصلی و مهم سیمولینک را در نرم افزار متلب بیاموزید

A و B باید در نظر گرفته شوند: A باید یک ماتریس مربع و B باید یک ماتریس ستونی باشد تا معیارهای روش گاس سیدل را برآورده کند. سپس، همانطور که قبلا توضیح دادیم، ماتریس A یک جزء است مثلث پایینی و مثلث بالایی برای بدست آوردن مقدار تکرار اول تجزیه می شوند.

برای شروع تکرار دوم از مقدار متغیرهای به دست آمده از تکرار اول استفاده می شود و برنامه به تکرار ادامه می دهد تا به راه حل مورد نظر کاربر برسد.

در زیر نمونه ای از صفحه اصلی برنامه MATLAB آمده است:

نمونه ای از روش گاوس-سایدل

در اینجا برنامه فوق MATLAB را که روش گاس سیدل بود به صورت ریاضی حل کردیم. معادلات داده شده عبارتند از:

4 برابر₁ – х₂ -ایکس₃ = 3
-2x₁ + 6 برابر₂ + x₃ = 9
-ایکس₁ + x₂ – 7 برابر₃ = -6

برای بدست آوردن مقدار تکرار اول، معادلات داده شده را به صورت زیر می آوریم:

4 برابر₁ – 0 – 0 = 3
-2x₁ + 6 برابر₂ + 0 = 9
-ایکس₁ + x₂ – 7 برابر₃ = -6

از معادله اول داریم: ایکس₁ = 3/4 = 0.750

مقدار x₁ جایگزین در معادله دوم: x₂ = [9 + 2(0.750)] / 6 = 1750

مقادیر x₁ و x₂ جایگزین در معادله سوم: x₃ = [-6 + 0.750 − 1.750] / 7 = – 1000

بنابراین نتیجه اولین تکرار خواهد بود: (0750, 1,750, -1,000)

کل فرآیند تکراری که از روش گاس سیدل (و برنامه MATLAB بالا) پیروی می کند در اینجا آورده شده است:

جایی که k تعداد تکرارهاست.

محلول نهایی به دست آمده نیز (1000، 2000، -1000) می باشد.

ارائه نرم افزار متلب (4 کاربرد اصلی و 3 نقطه قوت)

اگر هنوز در مورد روش گاس سیدل یا برنامه متلب سوالی دارید در قسمت نظرات همین پست با ما در میان بگذارید.