ماتریس چیست؟ انواع و روش محاسبه آن

در این مقاله با تعریف ماتریس و ویژگی های آن آشنا می شوید و نحوه یافتن ابعاد یک ماتریس و انجام عملیات اساسی روی دو یا چند ماتریس را یاد می گیرید.

ماتریس چیست؟

ماتریس یک آرایش مستطیلی (یا آرایه) از اعداد است که در داخل پرانتز قرار گرفته اند. هر عدد در این آرایش یک عنصر از ماتریس نامیده می شود. در اینجا مثالی از ماتریس A آورده شده است که عناصر آن اعداد واقعی هستند.

در اصطلاح ریاضی، دیدن یک ماتریس در داخل پرانتز بیشتر از پرانتز رایج است.

با این حال، معنی و ارزش چنین ماتریسی همان ماتریسی است که با پرانتز احاطه شده است.

ماتریس ها در جبر خطی برای نمایش سیستم معادلات خطی استفاده می شوند. مثالی از سه معادله خطی در یک دستگاه برای سه متغیر x، y و z به شرح زیر است:

x+2z=1.2

x+0.5y+z=-0.43

x+0.5y+0.5z=0.7

این سیستم معادلات به صورت ماتریسی به صورت زیر نمایش داده می شود:

یا حتی به طور خلاصه تر، از ماتریس دستگاه توسعه یافته استفاده کنید:

کاوش پیشرفته ماتریس (با استفاده از عملیات ماتریسی مانند جمع، تفریق، ضرب، و “عملیات پیش ردیف”) به ریاضیدان اجازه می دهد تا ویژگی های مهم یک سیستم معادلات را کشف کند، مانند اینکه آیا سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد یا نه. . حتی می توان مشخص کرد که دستگاه بیش از یک راه حل دارد یا حتی هیچ راه حلی ندارد.

آموزش نوشتن ریاضی در ورد (و 5 نکته مهم)

ابعاد ماتریس

شکل مستطیل شکل ماتریس امکان شناسایی آرایش خطی (یا فهرست) عناصر ماتریس را که به سطرها و ستون‌ها می‌گویند، می‌دهد. سطرها در سراسر صفحه نوشته می شوند در حالی که ستون ها در طول نوشته می شوند. در اینجا مثالی از یک ماتریس با چهار ردیف و دو ستون آورده شده است:

ردیف سوم ماتریس A به شرح زیر است:

(3.2 0.7)

و ستون دوم (و آخرین) A به این صورت است:

ابعاد ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. ماتریسی با m ردیف و n ستون ماتریس m×n نامیده می شود. ماتریس A (ماتریس تعریف شده در بالا) یک ماتریس 2×4 است. توجه داشته باشید که تعداد عناصر ردیف ماتریس برابر با تعداد ستون‌های ماتریس و تعداد عناصر ستون ماتریس برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس است.

عنصری از یک ماتریس که در ردیف i و ستون j قرار دارد، ردیف (i,j) ماتریس نامیده می شود.

دانلود را از دست ندهید: آموزش زبان انگلیسی از صفر تا صد با 32 درس رایگان

خواص ماتریس

ماتریس هایی که عملیات ماتریسی روی آنها اعمال می شود. آنها از چندین ویژگی اساسی پیروی می کنند. این ویژگی ها اساس جبر ماتریسی هستند:

قانون مشارکت

فرض کنید که A، B و C ماتریس هایی با ابعاد مساوی هستند. قانون مشارکت برای عملیات اضافه به شرح زیر است:

A+(B+C)=(A+B)+C

فرض کنید A یک ماتریس m×p، B یک ماتریس p×q، و C یک ماتریس q×n است. قانون مشارکت برای ضرب ماتریس به شرح زیر است:

A(BC)=(AB)C

قانون توزیع

فرض کنید A یک ماتریس m×p و B و C ماتریس‌های p×n هستند. در این مورد، قانون توزیع پذیری به صورت زیر بیان می شود:

A(B+C)=AB+AC

به طور مشابه، اگر A یک ماتریس p × n و B و C ماتریس های m × p باشد، قانون توزیع پذیری به صورت زیر بیان می شود:

(B+C)A=BA+CA

ماتریس هویت

برای هر مقدار معینی از n، یک ماتریس n×n ویژه به نام ماتریس هویت وجود دارد که با I و گاهی اوقات In نشان داده می شود، که در آن عناصر قطر آن 1 و سایر عناصر 0 هستند.

ماتریس هویت به طور مشابه با عدد واقعی 1 کار می کند، یعنی. با ضرب یک ماتریس دلخواه m×n به نام A در ماتریس هویت خود ماتریس به دست می آید:

Ain=A=ImA

عملیات ماتریسی

عملیات ماتریسی یک رویه (یا تابع) است که یک یا چند ماتریس را به عنوان ورودی می گیرد و یک ماتریس خروجی تولید می کند.

تدریس ریاضی گسسته از صفر تا صد (15 درس رایگان)

قوانین اضافه کردن ماتریس ها

فرض کنید A و B دو ماتریس m×n هستند. این دو ماتریس را می توان با هم جمع کرد تا سومین ماتریس m×n به دست آید. ماتریس A+B ماتریس ها با روشی به نام جمع جمع می شوند. این بدان معناست که عنصر (i,j) A+B برابر است با مجموع عناصر (i,j) ماتریس های A و B. برای مثال اگر ماتریس A در سطر اول و ستون دوم مقدار 2.0 داشته باشد و B باشد. دارای مقدار 6.0 در سطر اول و ستون دوم است که مجموع آنها در سطر اول و ستون دوم ماتریس A+B 8.0 خواهد بود. نمونه ای از جمع ماتریس انجام شده بر روی دو ماتریس 2×3 به شرح زیر است:

برای اضافه کردن دو ماتریس، ابعاد دو ماتریس باید یکسان باشد.

قوانین تفریق ماتریسی

دوباره فرض کنید که A و B دو ماتریس m×n هستند. تفریق ماتریس زمانی روی دو ماتریس انجام می شود که ماتریس حاصل به صورت m×n تولید شود. ماتریس تفاوت با A-B نشان داده می شود. تفریق ماتریس با استفاده از روشی به نام تفریق لایه ای انجام می شود که در آن عنصر (i,j) ماتریس A-B با تفریق عنصر (i,j) ماتریس B از عنصر (i,j) به دست می آید. از ماتریس A. در اینجا مثالی از تفریق ماتریس انجام شده بر روی دو ماتریس 3×2 آورده شده است:

مانند جمع ماتریس، در تفریق ماتریس ابعاد هر دو ماتریس باید یکسان باشد.

در کنار این مقاله بخوانید: واریانس چیست؟ فرمول محاسبه آن

آموزش تصویری